写真を撮ってもいいですか — permission & states

Asking permission (てもいいです), prohibition (てはいけません), and ています for habits/occupations.

V-てもいいですかてもいいです — may I

て-form

て-form + もいいです gives or asks permission: “may (do)”.

写真を　撮っても　いいですか。

しゃしんを　とっても　いいですか。

May I take a photo?

て-form + もいいです(か) asks for or grants permission. An affirmative answer is ええ、いいですよ; to refuse, see the next point.

V-てはいけませんてはいけません — must not

て-form

て-form + はいけません forbids: “must not / may not do”.

ここで　たばこを　吸っては　いけません。

ここで　たばこを　すっては　いけません。

You must not smoke here.

て-form + はいけません states a prohibition. It is fairly strong, so softer wording is often used with people of higher status.

V-ていますています — ongoing state / habit

て-form

ています also marks a continuing state, job or habit: 銀行で働いています.

ミラーさんは　IMCで　働いています。

ミラーさんは　IMCで　はたらいています。

Mr Miller works at IMC.

Beyond the progressive (lesson 14), ています describes a resulting state, occupation, or habitual action — 住んでいます (live), 結婚しています (be married), 知っています (know).